Schrödinger-Gleichung

Schrö|din|ger-Glei|chung [nach E. Schrödinger]: eine sog. quantenmechanische Bewegungsgleichung, die, z. B. als zeitunabhängige Differentialgleichung Ĥψ(q_r) = Eψ(q_r) dargestellt, die Wellenfunktion (ψ) des Elektrons mit seinem Energieeigenwert (E) u. den Raumkoordinaten (q_r) verbindet; Ĥ ist ein Hamilton-Operator. Exakt ist die S.-G. nur für Einelektronensysteme (H, He⁺, Li⁺⁺) lösbar, doch können mit Hilfe von Näherungsmethoden (z. B. der SCF- oder Hartree-Fock-Methode) auch für größere Systeme Elektronendichteverteilungen berechnet werden.

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Schrödinger-Gleichung

 

[nach E. Schrödinger], Quantenmechanik: im Schrödinger-Bild die nichtrelativistische Bewegungsgleichung für ein quantenmechanisches System (zwischen zwei Messungen). In ihrer einfachsten Form lautet sie (in Schrödinger-Darstellung): ih̶ ∂Ψ / ∂t = HΨ. Dabei ist i die imaginäre Einheit, 2πh̶ das plancksche Wirkungsquantum, Ψ die Wellenfunktion und H der Hamilton-Operator, der Operator der Gesamtenergie des Systems. Die Wellenfunktion ist eine im Allgemeinen komplexwertige Funktion der Koordinaten q_r des Systems und der Zeit t, also Ψ = Ψ (q_r, t), der Hamilton-Operator eine Funktion der Koordinaten q_r, der zu diesen kanonisch konjugierten Impulse p_r = —ih̶ ∂ / ∂q_r und der Zeit, d. h. im Allgemeinen ein Differenzialoperator; speziell für ein Teilchen der Masse m im Potenzial V (r) ist er durch H = (—h̶² / 2m) Δ + V (r) gegeben (Δ Laplace-Operator). Damit ist die Schrödinger-Gleichung im allgemeinen Fall eine partielle Differenzialgleichung. - Das Absolutquadrat

 

der Wellenfunktion ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, dass die Koordinaten zur Zeit t die Werte q_r haben (* = komplexe Konjugation).

 

Hängt der Hamilton-Operator nicht explizit von der Zeit ab, ist er eine Erhaltungsgröße. In diesem Fall kann in der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung die Zeit separiert werden, und man erhält die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung Hψ = Eψ mit der zeitunabhängigen Wellenfunktion ψ = ψ (q_r). Die Schrödinger-Gleichung wird damit zu einer Eigenwertgleichung mit der Energie E als Eigenwert und der Wellenfunktion als Eigenfunktion. In dieser Form dient die Schrödinger-Gleichung zur Berechnung der Energieeigenwerte atomarer Systeme und der dazugehörenden Eigenfunktionen (Wellenfunktionen), aus deren Absolutquadraten sich die räumlichen Verteilungen der Elektronen der jeweiligen Energiezustände ergeben. Für den betrachteten Spezialfall geht die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in

 

ü berechnet. Die Gesamtheit aller Wellenfunktionen enthält die ganze über ein atomares System erfahrbare Information, aus der sich die atomare Struktur ableiten lässt. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist allerdings nur für den Fall des Wasserstoffatoms geschlossen darstellbar. Für kompliziertere Systeme werden verschiedene Näherungsverfahren angewendet; im Einteilchenmodell wird die Bewegung eines beliebigen Elektrons im Potenzial des Atomkerns und der restlichen Elektronen untersucht, diese Einteilchen-Wellenfunktionen werden als Orbitale bezeichnet. Relativistische Verallgemeinerungen sind u. a. die Dirac-Gleichung und die Klein-Gordon-Gleichung; die Berücksichtigung des Spins des Elektrons in nichtrelativistischer Näherung führt zur Pauli-Gleichung. (Quantenmechanik)